AP 微积分 AB 基础课程
免费的五课 AP 微积分 AB 课程，涵盖极限、连续性、导数、导数应用、积分和考试策略，并配有 80 道配套练习题。
你将学到
- 从图形、数值和代数角度理解极限。
- 应用连续性条件和介值定理。
- 使用幂、乘积、商和链式法则求导数。
- 用导数分析变化率、极值和图像行为。
- 计算积分并应用微积分基本定理。
开始前准备
- 扎实的代数基础，包括因式分解和解方程。
- 熟悉函数、图像和变换。
- 掌握基础三角函数值和直角三角形比例。
- 愿意用纸笔练习。
课程 1 极限与连续性
极限描述当自变量接近某个值时函数趋近于什么。它是导数和积分的基础，因此 AP 微积分 AB 首先建立精确的极限直觉。
- 通过代入、因式分解、有理化和常见极限求极限。
- 识别不存在的极限和单侧极限。
- 用极限符号描述无穷行为和渐近线。
- 检查一点处的连续性并应用介值定理。
极限工具顺序：先尝试代入。得到 0/0 时，因式分解并约分，含根式就乘共轭，或使用已知极限。代入得到数字就是极限，不能只凭图像猜测。
判断连续性要检查三点：函数在该点有定义、极限存在、极限等于函数值。介值定理只适用于区间上连续的函数。
示例
求 lim x->2 (x^2 - 4)/(x - 2)。对分子因式分解：(x - 2)(x + 2)/(x - 2)。约去 x - 2，再代入 x = 2 得到 4。
示例：求 lim x→2 (x² − 4)/(x − 2)。
代入得 0/0，因式分解：(x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2，所以极限为 2 + 2 = 4。
可代入接近 2 的数检查，函数趋近 4。
课程 2 导数与求导法则
导数衡量瞬时变化率。你需要快速、可靠地求导，因为 AB 试卷的每一部分都包含多道求导题。
- 使用幂、乘积、商和链式法则。
- 对指数、对数和三角函数求导。
- 把导数理解为斜率、速度和边际变化。
- 写出切线方程并从数据估计导数。
法则选择：求导前先判断表达式适合哪种法则。乘积用乘积法则，商用商法则，嵌套函数用链式法则；多项和逐项求导。
求出导数后在情境中理解：切线斜率、速度或边际成本。选择题要检查答案的变量和单位是否正确。
示例
求 d/dx x^3 sin(x)。使用乘积法则：3x^2 sin(x) + x^3 cos(x)。
示例：求 y = x³ sin x 的导数。
乘积法则：u = x³，v = sin x，所以 y' = 3x² sin x + x³ cos x。
检查：u 的导数乘 v，加上 u 乘 v 的导数。
课程 3 导数的应用
导数用于分析运动、优化数量和描述图像时会非常强大。AP 微积分 AB 常把这些思想与真实情境应用题结合。
- 求临界点并判断局部和绝对极值。
- 使用一阶和二阶导数检验。
- 分析位置、速度和加速度。
- 解决相关变化率和最优化问题。
最优化流程：确定要最大化或最小化的量，用约束条件把它写成单变量函数，求临界点并检验端点。相关变化率先写方程，再对时间求导。
图像分析要看符号：导数为正时函数递增，二阶导数为正时图像凹向上。画草图验证结论。
示例
对于 f(x) = x^3 - 3x，f'(x) = 3x^2 - 3。令其为零得到 x = -1 和 x = 1，这是可能产生局部极值的临界点。
示例：f(x) = x³ − 3x 的导数为 f'(x) = 3x² − 3。
临界点为 x = −1 和 x = 1。二阶导数为 6x，f''(−1) = −6 是局部极大，f''(1) = 6 是局部极小。
画三次函数草图确认形状。
课程 4 积分与基本定理
积分累积变化。不定积分是求导的逆运算，定积分则通过微积分基本定理计算面积和净变化。
- 求多项式、指数和三角函数的原函数。
- 对复合函数使用换元积分法。
- 计算定积分和有符号面积。
- 用积分求曲线间面积和平均值。
原函数清单：幂函数指数加一并除以新指数；常数因子提到积分号外；复合函数考虑换元。定积分一定要把上下限代入原函数。
用微积分基本定理连接导数与积分：f' 在 [a, b] 上的积分等于 f(b) − f(a)。面积题要注意符号：负区域是有符号面积，除非题目要求总面积。
示例
计算从 0 到 2 的积分 (3x^2) dx。一个原函数是 x^3，所以值为 2^3 - 0^3 = 8。
示例：求 ∫₀² 3x² dx。
原函数：x³。代入上下限：2³ − 0³ = 8。
检查：对 x³ 求导得到 3x²。
课程 5 AP 微积分 AB 考试策略
AP 微积分 AB 看重清晰的推理和准确的符号。建立限时答题流程，即使最终答案不确定也能获得步骤分。
- 用正确符号写出每个极限、导数和积分步骤。
- 回答每道选择题，并排除不合理的选项。
- 解答题要写出建立过程、求导或积分，再写结论。
- 复盘错误并重做相关练习。
解答题框架：写公式、代入已知值、展示求导或积分过程，最后圈出带单位的答案。即使最后计算有误，设式也能得到步骤分。
选择题每题都答，计算长时先用估算。每次练习后按主题统计错误，下次练习先攻克最薄弱主题。
示例
对于解答题，先写出公式，再代入数值，展示求导或原函数过程，最后框出带单位的最终答案。
示例：解答题要求计算曲线与 x 轴之间的面积。
写出积分，展示原函数，代入上下限，并用平方单位写出面积。
完整的结构能拿到步骤分，也方便检查。